Моделирование процесса распространения волн на

Задачи, связанные с исследованием процесса распространения волн на пространственных сетях (геометрических графах), актуальны в самых различных разделах техники и естествознания . Они возникают при описании явлений в непрерывных системах сетеподобной структуры (электрических, гидравлических, акустических сетях, волноводах, упругих решетчатых конструкциях, электронных системах и т. д.). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Геометрический граф Г — связное множество в R3, представляющее собой объединение конечного числа криволинейных отрезков {g i Т,=1, называемых ребрами графа, точками пересечения которых могут быть лишь их концы, называемые вершинами графа. Границей dT графа Г называется некоторое подмножество множества вершин Г, принадлежащих единственному ребру. Вершины, не вошедшие в dT, называются внутренними. На графе Г рассматривается задача Коши для волнового уравнения с нулевой начальной скоростью: К (t x) = Uxx ^, x), [u(0,x) = j(x), ut(0,x) = 0. Здесь функция u(t,x): [0, +} xT — R задает отклонение от положения равновесия точки x графа в момент времени t, причем при всех t 0 функция u(t, ) непрерывна на Г, дважды непрерывно дифференцируема на каждом ребре Г, обращается в 0 на границе dT и удовлет- © , 2008 воряет в каждой внутренней вершине v условию согласования (2) i el (v) где I(v) обозначает множество номеров ребер, примыкающих к v, ai 0, X ai = Ъ ui — суже- iel(v) ние функции u на ребро gi, а через ui (t, v) x обозначена «крайняя» производная функции ui в конце v ребра gi по направлению «внутрьgi». ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ Решение задачи (1) на числовой оси в виде суммы прямой и обратной волны дает известная формула Даламбера u(t, x) = 1 (j(x — t) + j(x + t)), (3) причем начальная форма обеих волн определяется функцией, равной половине начального смещения j. Рассматривая задачу на отрезке числовой оси с закрепленными концами, используя то, что при отражении от закрепленного конца волна меняет свой знак и направление движения на противоположные, снова получим решение задачи в форме Даламбера u(t, x) = 2 (j(x — t) + j(x + t)), (4) где j(x) — 2l -периодическая функция, определяемая на отрезке -j(2l — x), x e . X aiui ^vух = 0 (1) Решение задачи на графе Г может быть получено с использованием закона прохождения волны через внутреннюю вершину графа. Этот закон со стоит в том, что волна, движущаяся в направлении вершины v по i -му ребру, при прохождении через нее разбивается на I(v) волн, I(v) — 1 из которых с коэффициентом 2ai пойдут по остальным ребрам, примыкающим к v, а одна, с коэффициентом 2ai — 1, отразится от вершины и пойдет в обратном направлении по тому же ребру (см. рис. 1). Тогда решение u(t,x) задачи в точке x графа Г в момент времени t может быть получено в виде суммы волн, пришедших в эту точку в момент времени t, причем начальная форма всех волн равна половине начального смещения j. В случае, когда длины ребер графа Г рационально соизмеримы, можно считать, что граф состоит из ребер одинаковой длины, равной общей мере длин ребер графа Г. Тогда количество волн, пришедших в любую точку графа в любой момент времени не превосходит удвоенного числа ребер такого графа. С этим связано существование некоторой независящей от начального смещения j константы C . Модуль отклонения от положения равновесия каждой точки x графа в любой момент времени t не превосходит произведения C и максимального по модулю начального смещения: max \ u(x, t) \ C max \ j(x) xeT xeT В частном случае, когда граф Г имеет структуру, изображенную на рис. 1, и состоит из m ребер одинаковой длины l с одним закрепленным концом, решение задачи на каждом ребре может быть выписано в явном виде: ui (x, t) = 1 (ji (x — t) + ji (x + t)), 1,…, m. где ji (x) — 4l -периодические функции, задаваемые на отрезке следующим образом: (7) ji (x) = ji (x), x e f m \ ji(x) — 2X a3 j3 (x — 2l), x e f m } 2X a j jj — ji (4l — x), x e . Из формул следует, что неравенство выполнено, например, при C = 3. В общем же случае, когда длины ребер графа Г произвольны, ввиду сложности формулы решения задачи вопрос о наличии константы C, для которой выполнено неравенство остается открытым. Однако основываясь на описанных выше законах распространения волн, можно составить программу, моделирующую процесс распространение волн на графе Г и вычисляющую сумму s(t, x) абсолютных значений коэффициентов волн, приходящих в некоторую точку x графа в дискретные моменты времени t. Это было сделано для графа, имеющего два ребра и одну внутреннюю вершину. В случае, когда длины ребер графа равны 1 и 1,01, коэффициенты a1 и a2 в условии согласования равны 1 и 3, а точка x — середина первого ребра, график функции s(t, x) при целых t = 0, 1,500 показан на рис. 2. Хорошо видно, что функция s(t, x) возрастает по t, и ее рост напоминает рост степенной функции. Константа C, если она существует, должна быть не меньше максимального значения функции s(t, x). Поэтому можно сделать вывод о том, что по всей видимости в общем случае не существует константы C, для которой выполняется неравенство (5). (5) i Дифференциальные уравнения на геометрических графах / , и др. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: автореф. дис. канд. физ-мат. наук / . — Воронежский гос. ун-т, 2002. — 19 с. Об оценке решений волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами // Вестник , Сер. Физика. Математика. — 2005, № 1. — С. 179-182.