Леммы о компенсированной компактности в

0. Отметим также обобщенное неравенство Гельдера integraldisplay Q T f · gdxdt? 2bardblf bardbl L p(·) (Q T ) bardblgbardbl L p prime (·) (Q T ) . (10.3) Вывод этих соотношений см. также в . Теперьобратимся к параболическому пространству Орлича–Соболева (6.2). Наделенное соответствующей нормой, оно становится рефлексивным банаховым пространством, подобным обычному пространству Соболева. Пространство H, определенное в (6.4), в общем случае не совпадает с W . Нас интересуют ситуации, когда H = W . С этой целью введем логарифмическое условие |p(x, t) ? p(x prime ,t prime )|? c ln 1 |t?t prime |+|x?x prime | , где (x, t), (x prime ,t prime ) ? Q T , |t ? t prime | + |x ? x prime |? 1 2 . (10.4) Предложение 10.1. Если выполнено условие (10.4), то H = W . Сформулирован вариант ранее установленного Фан Сянлином (Xianling Fan) и результата о плотности гладких функций в пространстве Орлича–Соболева. Плотностьгладких функций обеспечивается в данном случае непрерывностью оператора сглаживания. Определяем сглаживание f ? функции f через свертку с обычным гладким финитным ядром сглаживания, т.е. f ? = f ? ? ? , ? ? (x, t)=? ?(d+1) ? parenleftbig x ? , t ? parenrightbig , ?>0. Предложение 10.2. При условии (10.4) имеет место сходимость f ? > f в L p(·) (Q T ?? ), ?>0, при ? > 0 для любой f ? L p(·) (Q T ). Доказательство этого результата см. также в . 2. Свойство полунепрерывности снизу выпуклого функционала. Пусть K emdash.cyr ограниченное измеримое множество в R d . Рассмотрим класс интегрантов f (x, ?), выпуклых по ? ? R d , измеримых по x ? K и подчиненных нестандартной оценке c 1 |?| ? ? ?(x) ? f (x, ?) ? c 2 |?| ? + ?(x), 1 0,?? L 1 (K). Пустьинтегранты f ? , f принадлежат этому классу и выполнено условие lim ?>0 f ? (x, ?)=f (x, ?) для п.в. x ? K илюбых ? ? R d . Предложение 10.3 (см. ). Если v ? arrowrighttophalfvв (L 1 (K)) d , то integraldisplay K f ? (x, v ? ) dx ? integraldisplay lim inf ?>0 K f (x, v) dx. 3. Доказательство предложения 4.5. Подставим в тождество integraldisplay parenleftbigg v ?? ?t ? K ·?? parenrightbigg dx dt =0,? ? C ? 0 (Q T ), Q T функцию ? = ??, ? ? C ? 0 (?), ? ? C ? 0 (0,T).Тогда T integraldisplay 0 ? prime (t) integraldisplay ? v? dx dt = ? T integraldisplay 0 ?(t) integraldisplay ? K ·??dxdt, или T integraldisplay 0 ? prime (t)g(t) dt = ? T integraldisplay 0 ?(t)G(t) dt, где g(t)= integraltext ? v? dx и G(t)= integraltext ? K ·??dx emdash.cyr функции из класса L 1 (0,T).Отсюдаg ? W 1,1 (0,T) и g prime (t)=G,т.е. ? ?t integraldisplay ? v? dx = integraldisplay ? K ·??dx. После интегрирования по t имеем ? v? dx vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle integraldisplay t 2 t 1 + t 2 integraldisplay integraldisplay ? K ·??dxdt =0. (10.5) t 1 Фиксируя t 1 = t0 стольмалым, что t 2 = t + h 0, используя сходимости (см. предложение 4.4) integraldisplay ?v h ?t ?dxdt= ? integraldisplay Q T v h ?? ?t dx dt >? integraldisplay Q T v ?? ?t dx dt, integraldisplay Q T K h ·??dxdt > integraldisplay Q T K ·??dxdt. Q T Предложение доказано. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях // ДАН. 2008. Т. 420, №3. С. 300–305. 2. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях // Функц. анализ и его прил. 2009. Т. 43, №2. С. 19–38. 3. , Параболический принцип компенсированной компактности и некоторые его приложения // ДАН. 2010. Т. 431, №3. С. 306–312. 4. Tartar L. Cours Peccot. Paris: Coll`ege de France, 1977. 5. Murat F. Compacit?e par compensation // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. Cl. Sci. Ser. 4. 1978. V. 5. P. 489–507. 6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 7. , О повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений с переменным показателем нелинейности // Мат. сб. 2008. Т. 199, №12. С. 19–52. 8. Киндерлерер Л., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 9. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 10. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 11. , , Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 12. DiBenedetto E. Degenerate parabolic equations. New York: Springer, 1993. 13. К проблеме пре ельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях // Функц. анализ и его прил. 2001. Т. 35, №1. С. 23–39. 14. , Теоремы существования и качественные свойства решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // ДАН. 2010. Т. 430, №3. С. 295–299. 15. Об одном подходе к разрешимости обобщенных уравнений Навье–Стокса // Функц. анализ и его прил. 2009. Т. 43, №3. С. 33–53. 16. Simon J. Compact sets in the space L p (0,T; B) // Ann. Mat. Pura ed Appl. 1987. V. 146. P. 65–96. 17. Edmunds D.E., R?akosn??k J. Sobolev embeddings with variable exponent // Stud. math. 2000. V. 143. P. 267–293. 18. Об эффекте Лаврентьева // ДАН. 1995. Т. 345, №1. С. 10–14. 19. Zhikov V.V. On Lavrentiev?s phenomenon // Russ. J. Math. Phys. 1995. V. 3, N 2. P. 249–269. 20. , О свойстве повышенной суммируемости для параболических систем переменного порядка нелинейности // Мат. заметки. 2010. Т. 87, №2. С. 179–200.